دليل حل مسائل الاحتمال المركب بوضوح

الاحتمال المركب هو حساب احتمال نتيجة لا يحددها عامل واحد، بل يحتاج إلى ربط حدثين أو أكثر، أو إلى إدخال نتيجة سابقة في الحساب. ويظهر ذلك في أسئلة مثل احتمال أن تكون بطاقة ملونة مع رقم زوجي، أو أن ينجح طالب في اختبارين، أو أن يظهر مرض بعد فحص طبي. وفي كل حالة يجب تحويل العبارات إلى أحداث واضحة، لأن الغموض في الخطوة الأولى هو سبب أكثر الأخطاء.

تبدأ الحل بسؤال مركزي: ما الحدث النهائي الذي يطلبه النص؟ ثم اربطه بالنتائج الممكنة، ورتبها في جدول أو شجرة، واختر العمليات المناسبة: ضرب للترتيب أو الاستقلال، وجمع للنتائج المتنافسة، وشرط عندما تعتمد النتيجة الثانية على الأولى. هذه الخريطة تجعل لكل رقم موضعًا، وتمنع تكرار النتائج أو إسقاط الشروط.

قراءة السؤال وبناء فضاء العينة

اقرأ النص، وحدد التجربة العشوائية أولًا: ما الآلة أو السحابة التي ينتج عنها الخرج؟ ثم افصل المعطيات إلى احتمالات معطاة، وأحداث مطلوبة، وشروط مثل السحب دون استبدال. لا تستبدل عبارة مثل «مع» أو «و» بفرض تلقائي؛ فكل كلمة قد تصف علاقة مختلفة بين الأحداث قبل الانتقال إلى أي عملية حسابية.

اكتب فضاء العينة بالتفصيل الذي تتطلبه المسألة. في رمي عملتين متعادلتين، تكون النتيجة مثل (وجه، ذيل)؛ وإذا كان الترتيب مهمًا في بطاقتين، فاستعمل (بطاقة أولى، بطاقة ثانية). أما إذا كان المطلوب لون السحبة الثانية فقط، فقد تكفي نتائج مثل (أحمر، أحمر)، و(أحمر، أزرق)، و(أزرق، أحمر)، و(أزرق، أزرق)، مع توضيح هل السحب بإعادة أم دونها.

صنّف relationships بين الأحداث بعد كتابتها. هل المطلوب أن يحدث «أ» و«ب» معًا، أم أن يحدث أحدهما أو الآخر، أم أن احتمال «ب» يتغير بحدوث «أ»؟ إذا كان احتمال «ب» لا يتغير بوقوع «أ» فالأحداث مستقلة. وإذا كان变了 probability «ب» بالاعتماد على «أ» فالمطلوب حساب احتمال شرطي، وليس ضربًا مباشرًا.

ضرب الاحتمالات عند الاستقلال

إذا كان المطلوب احتمالoccurrence كل من الحدثين «أ» و«ب»، فإن الهوية الأساسية هي (P(A \cap B)=P(A)P(B\mid A)). فإذا كان «ب» مستقلًا عن «أ»، فإن (P(B\mid A)=P(B))، ويصبح الناتج (P(A\cap B)=P(A)P(B)). Mere concurrence doesn't prove independence; the probabilities must remain unchanged by occurrence of the other event.

مثال على ذلك: يُرمي قرص متوازن، ثم تُسحب بطاقة من مجموعة شComposable of 52 بطاقة. احتمال أن يكون القرص زوجيًا هو (3/6=1/2)، واحتمال أن تكون البطاقة حمراء هو (26/52=1/2). لأن النتيجتينcame من تجربتين مستقلتين، فإن احتمال اجتماعهما يساوي (1/2\times1/2=1/4).

يتغير الضرب المباشر إذا كان السحب دون استبدال. عند سحب بطاقة حمراء أولًا ثم بطاقة سوداء، يصبح احتمال السحبة الثانية مشروطًا بما نُحب: (26/52\times26/51=13/51). وإذا أُعيدت البطاقة بعد السحب الأول،Would probability return to (26/52\times26/52=1/4). هذه المقارنة تبيّن كيف يغيّر الاستبدال العلاقة بين الأحداث.

جمع الاحتمالات من دون ازدواج

إذا كان المطلوب احتمال «أ» أو «ب»، فالمبدأ هو (P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)). عندما يكون الحدثان متنافسين، أي يستحيل أن يحدثا معًا، تختفي حدّ المت交集 وتصبح المعادلة (P(A\cup B)=P(A)+P(B)). أما إذا أمكن اجتماعهما، فيجب طرح احتمالropointers المشترك مرة واحدة حتى لا تُحتسب النتيجة مرتين.

لنفترض أن 40% من الطلاب ينتمون إلى نادي العلوم، و35% ينتمون إلى نادي الأدب، ولا ينتمي أحد إلى الناديين معًا. فإن احتمال أن يكون الطالب في أحد الناديين هو (40%+35%=75%). لكن لا يصح تطبيق الجمع نفسه إذا كان 10% من الطلاب في الناديين معًا؛ عندها يكون الاحتمال (40%+35%-10%=65%).

الازدواج يظهر كذلك في مسائل السحب من عدة مجموعات. إذا كان المطلوب «كرة حمراء أو كرة زرقاء» من صندوق يحوي النوعين، فالنوعان متنافسان عند اختيار كرة واحدة. أما إذا كان المطلوب «كرة حمراء أو كرة كبيرة» وقد توجد كرة كبيرة حمراء، فيلزم حساب احتمال Happening of both or overlap. الحل الآمن هو تقسيم Outcomes to cases that do not overlap, then add.

تطبيق الشرط وصيغة بايز

إذا كانت معلومة جديدة تعدّل احتمال الحدث، استخدم الاحتمال الشرطي: (P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)). ويReaders this as احتمال «ب» إذا كان «أ» قد تحقق. مثال ذلك: 20% من منتجات مصنع معيبة، و90% من المعيب ترفضها الجودة، بينما 5% من السليم ترفضه خطأ. احتمال أن يكون المنتج مرفوضًا هو (0.20\times0.90+0.80\times0.05=0.22)، أي 22%.

تستخدم صيغة بايز عندما تريد الانتقال من نتيجة الاختبار إلى سببها المحتمل. افترض أن مرضًا يصيب 1% من الناس، وأن الفحص يكتشف المرض في 90% من الحالات،,false positive بنسبة 20%. بين عشرة آلاف شخص، يكون هناك 100 مريض، منهم 90 نتيجة موجبة، إضافة إلى 1980 نتيجة موجبة خاطئة بين الأصحاء. لذلك احتمال المرض مع النتيجة الموجبة هو (90/(90+1980)\approx4.35%)، وهي قيمة مختلفة عن 90%؛ لأن احتمال الإصابة المسبق entrou في الحساب.

من الأخطاء الشائعة أن يقتطع القارئ من بايز أن احتمال المرض «بين Patient and test» هو احتمال Positive disease. المقام يجب أن يضم جميعPaths المؤدية إلى النتيجة الموجبة،whether disease or not disease. ويمكن تثبيت هذه المسارات في شجرة، Putting each branch probability in its place, ثم الرجوع من branches to احتمال sought.

مثال شامل ثم التحقق من الحل

وينطبق ترتيب النتائج نفسه على المحتوى الرياضي؛ فعند عرض موقع ألعاب رياضية لمواجهة بين فريقين متكافئين، لا يعني ذلك تلقائيًا أن احتمال فوز كل منهما 50%. فهذه النسبة تحتاج إلى وجود نتيجتين ممكنتين-war的概率 متساوية، وإلى غياب معلومات_bias the outcome مثل Staat form or injuries.

يوجد صندوق فيه 3 كرات حمراء و2 زرقاء، ويُسحب منه كرتان دون استبدال. المطلوب احتمال أن تكون الكرتان مختلفتين في اللون. في ترتيب أحمر ثم أزرق، الاحتمال هو (3/5\times2/4=3/10). وفي ترتيب أزرق ثم أحمر، الاحتمال هو (2/5\times3/4=3/10). والترتيبان متنافسان، لذا يُجمعان: (3/10+3/10=3/5).

يمكن التحقق من النتيجة بطريقة مستقلة. احتمال السحبة الحمراءتين هو (3/5\times2/4=3/10)، واحتمال السحبة الزرقاوين هو (2/5\times1/4=1/10). وبما أن هاتين الحالتين Complement event المطلوبة، فإن الاحتمال يساوي (1-(3/10+1/10)=3/5)، وهو ما يطابق الحل السابق.

قبل اعتماد النتيجة، افحص ثلاثة أمور: هل فضاء العينة شامل، وهل حوالPaths events محسوبة once each، وهل الاحتمال النهائي بين 0 و1؟ إذا اجتاز الحساب هذه الفحوص، فالحل متسق مع بنية المسألة. الخطوة العملية التالية هي كتابة فضاء العينة لآخر مسألة احتمال مركب في ورقة مستقلة.